§ 4. Потенциальные диаграммы
Поле, создаваемое заряженным телом или несколькими телами, наглядно может быть представлено с помощью так называемой потенциальной диаграммы-
графика зависимости потенциала или потенциальной энергии от координат.
Рассмотрим несколько типичных потенциальных диаграмм. В качестве первого примера построим зависимость потенциала положительного точечного заряда ф == q
/r от расстояния r до этого заряда. График этой функции представлен на рис. 8, а (ось абсцисс проведена через заряд). Потенциал неограниченно возрастает (т. е. стремится к бесконечности) при приближении к заряду и медленно уменьшается при удалении от него. Для отрицательного заряда график такой же, только расположен в области ф < 0 (рис. 8, б). Точно такой же вид имеет график потенциальной энергии взаимодействия положительного заряда +q1 и отрицательного -q2 (например электрона и ядра). Если заряд размещен на поверхности сферы, то вне сферы потенциал ф=q/r, т. е. совпадает с потенциалом точечного заряда, помешенного в центре сферы. Внутри сферы Е = 0, поэтому там потенциал постоянен. В результате имеем график, изо-браженный на рис. 8. 
рис.
8
Потенциал в плоском конденсаторе
. Построим теперь график хода потенциала внутри и вне плоского конденсатора конечных размеров. Внутри конденсатора напряженность поля постоянна. В формуле Е =
= -дельта ф
/дельта l можно взять в качестве дельта l расстояние между началом координат и некоторой точкой, имеющей координату х (рис. 9, а). Тогда дельта ф = ф-ф0, где (ф-потенциал в точке с координатой х, а ф0 - в точке х = 0. От-сюда получаем Е ==- ф-ф0
/х, или ф=ф0-Ех. (28.1)
рис.
9(а)
Следовательно, график ф(х) -линейная функция х, принимающая наибольшее значение на положительной пластине и наименьшее на отрицательной. Вне конденсатора, при удалении на бесконечность, потенциал должен стремиться к нулю. Наконец, в начале координат, т. е. в центре конденсатора, потенциал ф0 должен равняться нулю, иначе потенциалы пластин не будут равны по величине и противоположны по знаку. В результате получаем график рис. 9, а. Чем больше размеры пластин, тем медленнее спадает потенциал вне конденсатора.
Если потенциал зависит от одной координаты (как, например, в плоском конденсаторе, где он зависит только от одной координаты х), напряженность равна минус производной от потенциала по этой координате:
E=- dф/dx. Графически на потенциальных диаграммах
напряженность есть тангенс угла наклона касательной к кривой ф(х) с осью Ох. Следовательно, напряженность и сила, действующая на заряд, больше там, где график идет круче, т. е. составляет больший (более близкий к 90°) угол с осью Ох. Там, где график ф(x) параллелен оси Ох, напряженность равна нулю. Рассмотрите с этой точки зрения все потенциальные диаграммы этого параграфа,
Скачок потенциала на двойном слое.
Чем ближе пластины друг к другу, тем круче ход потенциала междуними.
Две близкие поверхности, имеющие равные и противоположные по знаку заряды, составляют так называемый двойной слой. Потенциал на двойном слое совершает скачок (см. рис. 74,6), подобно тому как на заряженной поверхности имеется скачок на-пряженности.
рис. 9(б)
Потенциал системы из двух заряженных сфер. Рассмотрим ход потенциала, создаваемого системой из двух
концентрических сфер.
Пусть внутренняя сфера радиуса R1 имеет положительный заряд q1, а внешняя радиуса R2-отрицательный заряд q2 (см. рис. 10, на котором положено q1>\q2\).
рис.
10
Тогда вне сфер потенциал будет равен
ф=(q1+q2)/r (СГС), (28.2) так как его создают совместно обе сферы. Напомним, что потенциал есть работа внешних сил, совершаемая при перемещении +1 заряда в данную точку из бесконечности. Работа перенесения +1 заряда из бесконечности в область между сферами будет равна сумме двух работ: q2/R2 (работе против сил, действующих со стороны внешней сферы на пути из +бесконечности до ее поверхности) и q1/r (работе против поля внутренней сферы):ф=q2/R2 + q1/r (СГС). (28.3)
Наконец, внутри меньшей из сфер потенциал будет постоянен и равен Ф =
ф=q2/R2 + q1/R1 (это значение получаетсяиз формулы (28.3) при подстановке в нее г ==
R1)). По формулам (28.2), (28.3) легко построить график рис. 10. Сферический конденсатор имеет заряды обкладок, равные по величине и противоположные но знаку: q2= =-q1, так что потенциал (28,2) во внешней области обращается в нуль, а между обкладками (28.3) равенф=q1(1/r-1/R2). (28.4)
Получается график рис. 11. Если внутренняя сфера имеет отрицательный заряд, а внешняя положительный, график переворачивается (рис. 12).
рис.
11
рис.
12
Потенциальная яма
. Представим себе две концентрические сферы, сделанные из густой металлической сетки. Знак внутренней сферы, положителен, внешней - отрицателен. Потенциальная энергия электрона, U=eф, помещенного внутрь такой системы, выглядит так, как потенциал на рис. 12 (поскольку заряд электрона е отрицателен). Такой ход потенциальной энергии носит название потенциальной ямы. Происхождение названия ясно из рисунка. Пока электрон находится внутри меньшей из сфер, на него не действуют никакие силы. Если он попадает в промежуток между сферами, на него действуют силы возвращающие его во внутреннюю область (внешняя сфера заряжена отрицательно и отталкивает его, внутренняя - положительно). Электрон, двигаясь на-ружу, замедляется, выполняя работу против этих сил.Потенциальная яма не обязательно имеет плоское “дно”. На рис. 8 тоже изображена потенциальная яма, которую заряд одного знака создает для заряда противоположного знака.
Объемно заряженная сфера , т. е. заряженное “облако”, также является потенциальной ямой для заряда противоположного знака. Ход потенциальной энергии
U=qф показан на рис. 13. Помещенный в облакоположительного заряда электрон будет притягиваться к центру облака.
рис.
13
Кинетическая и потенциальная энергия частицы в потенциальной яме
. Полная энергия электрона (сумма кинетической и потен-циальной энергий) при движении в потенциальном поле сохраняется. На рис. 13пунктиром показан один из возможных уровней энергии электрона Е
1. Энергия откладывается от оси х, так что рассматриваемый уровень соответствует положительной полной энергии (E1>0). Поскольку Е1 = Екин + U (a U отрицательна!), нетрудно сообразить, что кинетическая энергия равна отрезку, проведенному от кривой U(x) до уровня E1.При движении из центра наружу, например вправо, на электрон действуют тормозящие силы, кинетическая энергия уменьшается, потенциальная возрастает. Когда электрон удалится достаточно далеко, потенциальная энергия станет близкой к нулю (см. график), а кинетическая станет равна полной энергии Е
1.Следовательно, частица, обладающая положительной полной энергией, может выйти из потенциальной ямы, и у нее еще останется кинетическая энергия, равная
E1.На рис. 14 в такую же потенциальную яму помещена частица с отрицательной полной энергией
E2.
рис.
14
Удивляться тому, что полная энергия может быть отрицательной, не следует: ведь полная энергия равна сумме кинетической. н потенциальной, а потенциальная энергия в данном случае отрицательна. Отрицательность полной энергии означает просто, что кинетическая энергия частицы мала.
Кинетическая энергия на графике снова равна отрезку, проведенному от кривой U(x) до уровня энергии Е2 (см. рис. 14).
В точках пересечения уровня Е2 с кривой U(x), т. е. в точках с координатами х1 и Х2, кинетическая
энергия равна нулю, т. е. частица останавливается и поворачивает обратно. Движение частицы с отрицательной полной энергией E2. следовательно, колебательное - частица движется от левой “стенки” к правой и наоборот. Выйти из потенциальной ямы такая частица не может.
Потенциальный барьер. В заключение рассмотрим так называемый потенциальный барьер.
Если облако
рис. 15
объемного заряда за* ряжено отрицательно, то график потенциальной энергии электрона, проходящего через такую область, имеет вид рис. 15. Электрон, подходящий к барьеру, тормозится. Если его
полная энергия Е ниже гребня потенциального барьера, он остановится в точке х1 и повернет обратно. Пройти сквозь барьер он не сможет.
Если барьер очень узок, то электрон, вопреки законам классической механики, сможет, с определенной вероятностью, пройти сквозь барьер (туннельный эффект). Причины такого парадоксального поведения электрона - в волновых свойствах частиц малой массы (микрочастиц).