Из формулы A12=q(1-2) нетрудно получить связь между потенциалом и напряженностью поля. Пусть точки 1 и 2 соединяет малый вектор (delta)l.Работу поля над зарядом q на участке можно вы-числить двумя способами. Во-первых, ввиду малости вектора (delta)l мы . можем считать силу qE на всем его протяжении постоянной по величине и направлению и вычислять работу как FS cos, т. е. в данном случае qE(delta)lcos. С другой стороны, эта же работа равна, как мы по-казали в предыдущем параграфе, q(1-2)= -q(delta), где (delta)= 2-1 есть разность меж-ду конечным и начальным значениями потенциала. При-равнивая два выражения для работы, получим (delta) = -E(delta)lcos. 

Эта формула определяет разность потенциалов между двумя близкими точками, соединенными малым векто-ром (delta)l, составляющимоуголе?ястнапряженностьюнполяоЕ.

Используя введенное в § 13 понятие скалярного про-изведения векторов, запишем (27.1) в более компактном виде:

(delta) = -E(delta)l.

Если поле однородное, можно в качестве (delta)l взять лю-бую, не обязательно малую, длину. Например, разность потенциалов между двумя точками внутри плоского конденсатора (рис. 5) равна ф2-ф1 =-El cos а. Если отрезок I соединяет пластины и направлен нормально к ним, т. е. вдоль линий напряженности поля, то (ф2- ф1 = -El, ИЛИ

E=(ф1-ф2)/l (27.4)

 рис. 5

Если соотношения (27.2) или (27.1) выражают потенциал через напряженность, то (27.3) выражает напряженность через потенциал (в частном случае однородного поля). рис. 6

Напряженность можно выразить через потенциал и в общем случае любого поля (разумеется, потенциального). Для этого возьмем в формулах (27.1) или (27.2) вектор delta l, параллельный Е. Тогда получим delta ф = -Е • delta1, или

 

E= -delta ф/delta l (27.4)

 

Выражение delta ф/delta l , очевидно, имеет смысл падения потенциала, приходящегося на единицу длины.

Формулы (27.3) и (27.4) имеют одинаковый вид в гауссовой системе и в системе СИ. Размерность напряженности в системе СИ, как было уже доказано, в/м. Эта размерность наглядно видна из

 

формул (27.3) и (27.4).

Эквипотенциальные поверхности.

Точки, в которых потенциал имеет заданное фиксированное значение, располагаются на поверхностях, называемых эквипотенциальными поверхностями (рис. 70). Нетрудно доказать, что линии напряженности перпендикулярны к этим поверхностям. Для этого применим формулу delta ф = -Е delta l cos а к вектору delta l, лежащему в одной из эквипотенциальных поверхностен (см. рис. 6). Естественно, что разность потенциалов delta ф между его началом и концом равна нулю (так как обе точки лежат на одной эквипотенциальной поверхности). Это значит, что cos a = 0, т. е. а = Pi/2 и Е перпендикулярен delta l.

Например, эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда представляют собой концентрические сферы, а линии напряженности исходящие из центра лучи (рис. 7, а). Эквипотенциальные поверхности поля плоского конденсатора-плоскости, параллельные пластинам, а линии напряженности - прямые, к ним пер-пендикулярные (рис. 7, 6).

рис.  7(б)                     рис. 7(а)

Изменение потенциала при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к другой одинаково при перемещении на любой вектор, соединяющий эти поверх-ности. Самым коротким из них является тот, который

   

нормален к эквипотенциальным поверхностям. По этому направлению потенциал меняется наиболее быстро. Следовательно, наиболее быстро потенциал меняется вдоль линии напряженности.

Формулу Е = - delta ф/deltal читают так: напряженность есть минус градиент потенциала. Градиентом скалярной величины называется вектор, имеющий направление наиболее быстрого возрастания этой величины, а по модулю равный ее изменению на единицу длины.  

Типичный метод решения электростатических задач. Введение понятия потенциала чрезвычайно упростило решение электростатических задач. Зная потенциал, можно уже легко найти другие электрические величины - напряженность, емкость и др.

Для определения потенциала любой системы заряженных тел можно написать уравнение, которое непосредственно выражает потенциал через имеющиеся заряды (уравнение Пуассона или его частный случаи • уравнение Лапласа). Это уравнение - не алгебраическое, а дифференциальное уравнение в частных производных, поэтому здесь мы не выписываем его. Точное решение уравнения Лапласа можно получить в редких случаях. Один из них, и весьма важный, - поле заряженного эллипсоида.

Весьма облегчает решение электростатических задач принцип однозначности решения. Каким бы способом, хотя бы и путем догадки, мы ни нашли решение задачи, но если найденный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям, то решение является правильным и единственным. Значение этого принципа мы проиллюстрируем далее (§ 4) на важном электростатическом методе, называемом методом зеркальных изображений.

 
Сайт создан в системе uCoz